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ピッタリ
2017.01.11 01:25 | 2017.01.11 01:33編集済み
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(10) a,b,cは異なる素数、x,y,z,nを自然数として 例えばnの素因数が3つだと仮定して n=a^x×b^y×c^z と表せた時、nの正の約数の個数は (x+1)(y+1)(z+1) である x+1,y+1,z+1はどれも2以上の自然数である 15を2以上の自然数3つの積で表すことは不可能なので、素因数は2種類だとわかる。よって、 n=a^x×b^y と表し直し、このときnの正の約数の個数は (x+1)(y+1) である 仮定より、約数は15個なので (x+1)(y+1)=15 この不定方程式を解くと、 x+1,y+1 は2以上の自然数に注意して (x+1,y+1)=(3,5),(5,3) (x,y)=(2,4),(4,2) つまり、これらはまとめて n=a^2×b^4 とnを表せる あとは小さい順に素因数を代入していく ただし、aとbは異なる素因数だということに気をつける b=2のとき a=3 n=144 a=5 n=400 b=3のとき a=2 n=324 ゆえに、nは3個 (11) a,b,cの最大公約数は6なので、 a=6x b=6y c=6z と表せる ただし、x,y,zは公約数を持たない b,cの最大公約数は30だから xとyは5を公約数に持つので、 y=5m, z=5n として b=30m c=30n と表せる ただし、m,nは公約数を持たない b,cの最小公倍数は420で b,cの最小公倍数は30mnと表せるので 30mn=420 mn=14 (m,n)=(1,14),(2,7),(7,2),(14,1) よって、 (y,z)=(5,70),(10,35),(35,10),(70,5) a,bの最小公倍数は180である これはつまり、a,bは共に公約数6を持つことから、x,yの最小公倍数が30となるときを考えれば良い 30=2×3×5 以下、上で求めた4パターンについて、x,y,zが公約数を持たないようにxを求めていく (y,z)=(5,70)のとき、 xは少なくとも 2, 3を因数に持つので、 x=2×3 (y,z)=(10,35)のとき、 xは少なくとも 3を因数に持つので、 x=3 , 3×2 (y,z)=(35,10)のとき、 どんなxをとっても、x,yの最小公倍数が30にならないので不適 (y,z)=(70,5)のとき、 どんなxをとっても、x,yの最小公倍数が30にならないので不適 よって、 (x,y,z)=(3,10,35),(6,5,70),(6,10,35) ゆえに、 (a,b,c) =(18,60,210),(36,30,420),(36,60,210) 最後に、a<b<cに注意して (a,b,c)=(18,60,210),(36,60,210) (参考) 18=2×3^2 30=2×3×5 36=2^2×3^2 60=2^2×3×5 210=2×3×5×7 420=2^2×3×5×7

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