1~6の数字を並び替えてできる6桁の数は 平方数にならないことを示せ。 お願い...

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匿名
5日前
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1~6の数字を並び替えてできる6桁の数は 平方数にならないことを示せ。 お願いします

数学勉強法

回答 6
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匿名1
5日前

6桁で十万の位が1~6の平方数をすべて並べたら?

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匿名
5日前

並び替えてできる6桁の各位の和は21つまり常に3の倍数となる。 という方向性でお願いします。

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匿名
5日前

匿名2さん 使ってもいいというか、必ずそうなりますよね。その要素を用いて証明してほしいってことです。

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匿名2
5日前 |5日前編集済み

まず、できる数を a×10^5+b×10^4+c×10^3+d×10^2+e×10+f とします。 で、こいつらを a×10^5=a×(10^5-1)+a のようにしてやると、 9×(a×11111+b×1111+……+e)+(a+b+...+f) となり、 最後の(a+b+c+d+e+f)がどうなっているかによって9の倍数か否かが決まります。 問題の場合、どの並びにしても (a+b+c+d+e+f)=21 となり、9の倍数ではありません。 しかし、できる数字は上記の結果から3の倍数になることが分かるため、素因数分解すると、どうしても3が一つ余ってしまいます。 よって平方数にはなりえません。

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匿名2
5日前

すみません、与えられてなくてもできました。 使ってもいいか、と聞いたのは問題文にそのこと(各位の和で倍数の判定ができる)が与えられていない場合、それをまた証明しなければ点数が貰えないことがあるからです。

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匿名
5日前

匿名2さん どれを素因数分解すればいいのですか??

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匿名2
5日前 |5日前編集済み

平方数かどうか判定するには並び替えてできた数を素因数分解する必要があります。 結果として素数のペアがきちんと出来ればその数は平方数です。平方数同士の積になるので (13^2×4^2×3^2×3^2×2^2のように) しかし、組み合わせは240通りあり、全て素因数分解を試すのは現実的ではありません。 だから、並び替えた結果が3の倍数だけど9の倍数にならないことを示しました。 他にも解き方はあるかもしれません…

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匿名3
4日前 |4日前編集済み

1~6の和が21より3の倍数であるが、9の倍数ででない。よって、素因数分解したときに3の偶数乗が残ったら9の倍数になりますから、3の奇数乗が残ります。つまりその6桁にルート付けたやつは、いくら簡単に出来てもルートの中は3が必ず残って有理数にはならないので、平方数にはなり得ないてことです。

Lv.5
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4日前

mを自然数として、 m² = (1~6の数字を並び替えてできる6桁の数)……(*) を満たすmが存在しないことを証明する。 i)mが3の倍数のとき (*)の左辺は9の倍数である。 (*)の右辺は、各位の数を足して21なので9の倍数ではない。 よって(*)をみたすmは存在しない。 II)mが3の倍数でないとき (*)の左辺は3で割って1余るが、 (*)の右辺は3で割りきれる。 よって(*)をみたすmは存在しない。 I,II より、(*)を満たすmは存在しない。 よって題意は示された。